Posted in: Umum

Penjumlahan Bilangan Bulat

Penjumlahan Bilangan Bulat

a)Sifat-sifat Penjumlahan

  1. Sifat Asosiatif  : ( a + b ) + c = a + ( b + c )

Contoh : (5 + 3 ) + 4 = 5 + ( 3 + 4 ) = 12

  1. Sifat Komutatif : a + b = b + a

Contoh : 7 + 2 = 2 + 7 = 9

  1. Unsur Identitas terhadap penjumlahan

Bilangan Nol (0) disebut unsur identitas atau netral terhadap penjumlahan

a + 0 = 0 + a

Contoh : 6 + 0 = 0 + 6

  1. Unsur invers terhadap penjumlahan
  • Invers jumlah (lawan) dari a adalah –a
  • Invers jumlah (lawan) dari – a adalah a
  • a + (-a) = (-a) + a

Contoh : 5 + (-5) = (-5) + 5 = 0

  1. Bersifat Tertutup

Apabila dua buah bilangan bulat ditambahkan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga. a dan b  bilangan bulat maka a + b = c ; c  bilangan bulat.

Contoh : 4 + 5 = 9 ; 4,5,9  bilangan bulat.

  1. b)Teorema Penjumlahan Bilangan Bulat
  • Jika a, b, dan c anggota himpunan blangan bulat Z, dan a = b maka

a + c = b + c

Bukti :

Ambil a, b, dan c anggoata Z

(a + c) Z                             (sifat tertutup)

(a + c) = (a + c)     (sifat refleksi)

a = b                                              (diberikan)

(a + c ) = (b + c)    (substitusi, 3 ke 2)

  • Jika a, b, dan c anggota dari himpunan bilangan bulat Z, dan a + c = b + c maka a = b

Bukti :

      ambil a, b, dan c di Z

1)      (a + c) (a + c) ∈ Z                                            sifat tertutup

2)      a + c = b + c                                       diberikan

3)      – c ∈ Z                                                             Invers tambahan

4)       (a+c) + (-c) = b + (c + (-c))

5)      a + (c + (-c)) = b + (c + (-c))

6)      c + (-c) = 0

7)      a + 0 = b + 0

8)      a+0=a dan b+0=b

9)      a = b

Teorema diatas biasanya dikenal dengan sifat penghapusan dari penjumlahan

Bukti bahwa (-a) + (-b) = – (a + b)

      Misalkan a dan b bilangan – bilangan cacah, maka (-a) + (-b) merupakan jumlah dua bilangan negatif. Misal (-a) + (-b) = c maka c = (-a) + (-b). c + b = ((-a) + (-b)) + b  sifat kesamaan

c + b = (-a) + ((-b) + b)                 sifat asosiatif penjumlahan

c + b = (-a) + 0                              invers penjumlahan

(c + b) + a = (-a) + a                      sifat kesamaan

(c + b) + a = 0                               invers penjumlahan

c + (b + a) = 0                               sifat asosiatif penjumlahan

c + (a + b) = 0                               sifat komutatif penjumlahan

(c + (a + b)) + (-(a + b)) = – (a + b) sifat kesamaan

c +((a + b) + (-(a + b))) = – (a + b) sifat asosiatif

c + 0 = – (a + b)    invers penjumlahan

Jadi kesimpulannya (-a) + (-b) = – (a + b)

Baca juga: